کربن – کربن در ساختار گرافیت یعنی ۱۴۴/۰ nm دارد. بنابراین میتوانیم عبارات r-r0 و r-Re را در توابع پتانسیل فوق برابر با تغییر طول پیوند یعنی δb در نظر بگیریم. همچنین با مقایسه و تبدیل واحد ملاحظه میگردد که مقادیر ثوابت De , β را نیز در تابع پتانسیل ترسوف میتوان با مقادیر به دست آمده برای آنها در تابع پتانسیل مورس اصلاح شده با خطای ناچیزی برابر در نظر گرفت. بنابراین با در نظر گرفتن موارد ذکر شده در فوق محاسبات را با تابع پتانسیل مورس اصلاح شده آغاز میکنیم.

۴-۱-۲ فرمولاسیون با استفاده از تابع پتانسیل مورس اصلاح شده
با فرض آنکه نیروی f نیروی منتجهی پیوندی و δb تغییر طول پیوند ناشی از آن باشد، ابتدا با مشتق گرفتن از تابع پتانسیل مورس اصلاح شده (رابطه (۱۱-۲)) خواهیم داشت:
f = 2Deβ(۱ – e^(-βδb))e^(-βδb) (16-2)
همانطور که ملاحظه میگردد رابطهی بین نیروی f و تغییر طول پیوند δb به صورت توابع هارمونیک و غیر خطی فوق میباشد. در اینجا ما با استفاده از یک تکنیک خطی سازی میخواهیم رابطهای خطی را بین f و δb به دست آوریم. در شبیه سازی میتوان پیوندهای C-C را در ساختار نانو لولهها به صورت المانهایی دارای انرژی فرض نمود که در اثر اعمال نیرو، تغییر طول آنها به صورت خطی میباشد. این فرض تطابق خوبی با فرض قرار داشتن در ناحیهی الاستیک خطی و صرف نظر نمودن از چرخشهای پیوندی دارد چنانکه در بسیاری از تحقیقات نیز پیوندهای C-C را به صورت المانهای الاستیک تیر و یا المانهای فنری شبیه سازی نمودهاند و نتایج مطلوبی را نیز به دست آوردهاند. بنابراین ما نیز در اینجا فرض مینمائیم که پیوندهای C-C المانهای الاستیک دارای انرژی میباشند. در نتیجه با به کار بردن بست تیلور برای توابع هارمونیک به دست آمده و با صرف نظر نمودن از ترمهای مرتبه بالا و جایگزینی نتایج در رابطه ی (۱۶-۲) خواهیم داشت:
e^(-βδb) = 1 – βδb + O(δb2) – … (۱۷-۲)
e^(-2βδb) = 1 – 2 βδb + O(δb2) – … (۱۸-۲)
f = 2βDe(1 – βδb – ۱ + ۲βδb) = 2β۲Deδb (19-2)
با توجه به آنکه β و De ضرایب ثابت میباشند لذا ضریب ۲β۲De یک مقدار ثابت بوده و بنابراین رابطه فوق به شکل رابطهی خطی f = Kδb (رابطهی شناخته شده نیرو – جابجایی المانهای الاستیک نظیر فنر و مطابق با فرضیات اعمال شده) میباشد. اکنون با استفاده از تابع پتانسیل دیگری به نام ترسوف نیز همین روند را طی خواهیم کرد و در نهایت نتایج به دست آمده را مقایسه میکنیم.
۵-۱-۲ فرمولاسیون با استفاده از تابع پتانسیل ترسوف
ابتدا تابع پتانسیل ترسوف را مجدداً بازنویسی مینمائیم:
E = fc[D_e/(S-1) e^(-√۲S βδb) – bij (D_e S)/(S-1) e^(-√(۲/S) βδb)] (20-2)
با در نظر گرفتن کوپلینگ دو اتمی برای پیوندهای کربن یعنی bij = 1 و در نظر گرفتن اثر بر هم کنش تمامی اتمها یعنی fc = 1 می توان رابطهی فوق را بدین شکل مجدد بازنویسی نمود:
E = [D_e/(S-1) e^(-√۲S βδb) – (D_e S)/(S-1) e^(-√(۲/S) βδb)] (21-2)
با مشتق گیری بر حسب δb از رابطهی فوق خواهیم داشت:
f = ((√۲S βD_e)/(S-1)) [e^(-√(۲/S) βδb) -e^(-√۲S βδb)] (22-2)
مجدداً با نوشتن بست تیلور توابع هارمونیک فوق و جایگزینی آنها در رابطهی (۲۲-۲) مطابق روند انجام شده برای تابع پتانسیل مورس اصلاح شده به دست میآوریم:
e^(-√(۲/S) βδb) = 1 – √(۲/S)βδb + O(δb2) – … (۲۳-۲)
e^(-√۲S βδb) = 1 – √۲Sβδb + O(δb2) – … (۲۴-۲)
f = ((√۲S βD_e)/(S-1)) [1 – √(۲/S)βδb – ۱ + √۲Sβδb] (25-2)
f = ((√۲S β^۲ D_e)/(S-1)) δb [√۲S((S-1)/S)] = 2β۲Deδb (26-2)
رابطهی (۲۶-۲) دقیقاً همان رابطهی به دست آمده برای نیرو و جابجایی پیوندی با استفاده از تابع پتانسیل مورس اصلاح شده (رابطه ی (۱۹-۲)) میباشد. بنابراین با در نظر گرفتن این رابطه به عنوان ارتباط بین نیرو و تغییر طول پیوندی اکنون به تحلیل ساختاری نانولولههای کربن تک دیواره بر اساس این فرمولاسیون خواهیم پرداخت.
۲-۲ تحلیل ساختاری
در این بخش ابتدا به تحلیل ساختاری یک صفحهی گرافیتی با چیدمانهای اتمی زیگزاگ و آرمچیر پرداخته و سپس با وارد نمودن اثر انحنا برای هر یک از دو ساختار مذکور، روابط را برای نانولولههای کربن تک دیواره تعمیم خواهیم داد. می دانیم که هر نانولوله را می توان ناشی از رول شدن یک صفحهی گرافیتی (گرافین ۱ ) در نظر گرفت و یا به عبارتی یک گرافین یک نانولوله با شعاع فرضی بینهایت میباشد. بنابراین با در نظر گرفتن دو محور عمود بر هم به عنوان راستاهای اصلی مطابق شکل ۱-۲ ]۱۲[ به تحلیل ساختاری گرافین میپردازیم.

شکل ۱-۲. صفحهی گرافیتی (گرافین) تک جداره تحت تنش کششی

———————————————-
Graphene
حالتی را در نظر میگیریم که نیروی P در راستای محور ۲ و در یک انتها بر صفحهی گرافیتی وارد شده و انتهای دیگر نیز مطابق فرض مسئله کاملاً بسته بوده و در راستای محور ۱ نیز نیرویی نباشد که این حالت مربوط به چیدمان آرمچیر میباشد. اثر نیروی P بر روی هر یک از پیوندها را نیز با نیروی f نشان میدهیم که برای این حالت:
P = 2nf (27-2)
که در آن n اندیس نانولوله میباشد. با در نظر گرفتن راستای طولی گرافین و اعمال کشیدگی مطابق شکل ۲-۲ خواهیم داشت:

شکل ۲-۲. راستای طولی نانولوله تک جداره آرمچیر

L = (bsinθ)N1 ⇒ N1 = L/bsinθ (۲۸-۲)
که b طول اولیهی پیوند قبل از اعمال کشش، θ نصف زاویهی بین دو پیوند C-C نشان داده شده در شکل- ۵ بوده و N1 نیز تعداد پیوندهای مورب بوده که در طول تکرار می شوند. با توجه به آنکه در اثر اعمال نیرو و کشیدگی، تغییر طول تمامی این پیوندهای مورب با یکدیگر برابر است بنابراین میتوان تنها یکی از این پیوندها را از نظر نیرویی بررسی نموده و روابط را تعمیم داد. به مانند قبل رابطهی δL را نیز میتوان چنین بیان کرد:
δL = N1δbsinθ (۲۹-۲)
با جایگزینی N1 از رابطه ی (۲۸-۲) در رابطهی فوق خواهیم داشت:
δb = b/LδL (30-2)
لازم به ذکر است که از اثر تغییر زاویهی پیوندی در برابر کشیدگی پیوندی صرف نظر میشود که تقریب مناسبی جهت جلوگیری از پیچیده شدن روابط میباشد.
حال به کمک تحلیل نیرویی (با استفاده از قانون تعادل نیرو در راستای طول پیوند) مطابق با شکل ۳-۲ خواهیم داشت:

شکل ۳-۲. تحلیل نیرویی پیوند کربن – کربن در راستای طولی نانولوله کربنی تک جداره آرمچیر

۲fsinθ = ۲Deβ۲δb ⇒ fsinθ = Deβ۲δb (31-2)
که از رابطهی (۱۹-۲) برای نیرو و تغییر طول پیوند در آن استفاده شده است. با جایگذاری روابط (۲۷-۲) و (۳۰-۲) در رابطه ی (۳۱-۲) به دست خواهیم آورد:
P = ((2nD_e β^۲ b)/Lsinθ)δL (32-2)
حال با مقایسه با رابطهی مرجع (۸-۲) ضریب γ را خواهیم یافت:
γ = (nLD_e β^۲ b)/sinθ (۳۳-۲)
در نهایت نیز با جایگذاری این نتیجه در رابطهی (۹-۲) برای مدول الاستیک در نهایت نتیجهی زیر به دست خواهد آمد.
Y = (nD_e β^۲ b)/πrtsinθ (۳۴-۲)
این رابطه را میتوان ساده تر نیز نمود. با قرار دادن θ = π/۳ (نصف زاویهی پیوند کربن – کربن در ساختار نانولوله تک جداره مطابق شکل ۱-۲) و نیز رابطهی مربوط به شعاع نانولوله با اندیس آن که به صورت زیر تعریف میگردد، در رابطهی فوق در نهایت خواهیم داشت:
r = 3b/2π n (35-2)
Y = (4/(3√۳))((β^۲ D_e)/t) (36-2)
با توجه به آنکه β و De و t مقادیر ثابت و مشخصی دارند لذا مقدار مدول الاستیک گرافین نیز دارای مقدار ثابتی خواهد بود که این مطلب کاملاً مطابق با واقعیت میباشد.
مطابق با شکل ۱-۲ حالتی را در نظر میگیریم که نیروی P در یک انتهای گرافین و در راستای محور ۱ وارد شده و انتهای دیگر آن نیز کاملاً بسته بوده و در راستای محور ۲ نیز نیرویی وارد نمیگردد. این حالت مربوط به چیدمان زیگزاگ میباشد.
رابطهی نیروی P اعمال شده بر نانولوله با نیروی پیوندی f در این حالت به صورت زیر میباشد.
P = nf (37-2)
با در نظر گرفتن راستای طولی مطابق شکل-۷ جهت تحلیل هندسی خواهیم داشت:
L = N2b + N3bcosθ (۳۸-۲)
با توجه به شکل ۴-۲ مشخص است در این چیدمان در راستای طولی دو نوع پیوند وجود دارد که تکرار می شوند بنابراین رابطه هندسی طول کل نانولوله با طول پیوند به صورت فوق میباشد.

شکل ۴-۲. راستای طولی نانولوله تک جداره زیگزاگ
در رابطه (۳۸-۲)، N2 تعداد پیوندهای افقی و N3 تعداد پیوندهای مورب موجود در ساختار میباشند. از آنجا که در اثر اعمال کشش نیز تغییرات طول پیوند در تمامی پیوندهای افقی باهم و در تمامی پیوندهای مورب نیز با هم برابر خواهند بود (همه ی پیوندهای مورب نسبت به راستای افقی دارای یک زاویهی یکسان میباشند).
لذا در واقعیت امکان سه حالت کلی برای این دو نوع پیوند در طول کل نانولوله وجود خواهد داشت:
حالت اول زمانی است که تعداد پیوندهای مورب در طول کل، یکی از

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید